7차 교육과정 개정 이후 수학적 사고력, 창의적 문제해결력, 추론 능력, 의사소통 능력이 더욱 강조되고 있다. 다양한 수학적 능력을 기르기 위해서는 기본적으로 수학적문제해결력을 단단하게 다져야 한다. 수학적 기본기를 갖춘 학생들은 더욱 심화된 내용의 수학을 접하더라도 문제를 해결하는 데 별다른 어려움이 없다. 수학적 문제해결력이란 무엇이고 이를 향상시키기 위해서는 어떻게 해야 할까?
수학으로 생각하고 문제해결
수학적 문제해결력이란 학생 스스로 문제 상황을 이해하고 수학 지식을 조직해 응용력, 창의력, 논리력 등의 사고를 토대로 문제를 해결하는 힘을 뜻한다. 수학적 개념·원리·법칙을 탐구하고 이를 일반화하는 능력도 포함된다.
이를 위해서는 기존의 풀이 방법을 반복하는 것이 아니라 도전하면서 새로운 방법을 깨달아 문제를 해결하는 훈련이 필요하다. 지금까지 해왔던 기계적인 반복과 암기학습을 지양하고 자신의 수준에 적합한 문제를 많이 풀어보는 게 도움이 된다.
같은 수학 개념을 물어보는 문제라 해도 어떤 형식으로 호기심을 자극하느냐에 따라 사고력 발전에 미치는영향은 크게 달라진다. 학생들은 도전할 만한 문제를 해결할 때, 성취감을 느끼고 더 확실하게 이해할 수 있다. 따라서 수학적 사고력을 키우기 위해선 도전의식과 과제 집착력, 그리고 수학 개념을 탐구할 수 있는 ‘좋은 문제’를 접해야 한다. 이러한 문제를 전략을 세워 해결할 때, 비판적이고 창의적인 사고 능력을 키울 수 있다.
수학자인 폴리아는 문제를 해결하는 과정을 4단계로 나눠 설명했다. 문제의 이해, 계획 수립, 계획의 실행, 반성이 그것이다.
다음 예제를 통해 문제 해결과정을 적용해보자.
▶ 문제 : 6개의 투명한 유리구슬이 있다. 구슬 중 1개는 나머지 5개의 유리구슬보다 가볍지만 겉모양이 모두 똑같아 눈으로는 구분할 수 없다. 가벼운 구슬을 구분해내는 데 윗접시 저울만 사용할 수 있다. 윗접시 저울은 정확한 무게를 잴 수 없으며 더 무거운 쪽이나 가벼운 쪽만 알 수 있다.
윗접시 저울을 최소 몇 번을 사용하면 가벼운 구슬 1개를 구분해낼 수 있는지 구하고 해결 방법을 설명하시오.
① 문제의 이해: 윗접시 저울을 최소 몇 번을 사용해야 하는지, 정확한 무게는 알 수 없지만 저울을 이용할 수 있는 조건 이해
② 계획 수립: 저울 접시에 구슬을 몇 개씩 올려놓을 것인지, 예상 값 계획
③ 계획의 실행: 예상한대로 접시에 구슬을 각각 올려놓고 몇 번 사용해 가벼운 구슬 1개를 구분해냈는지 결과 값 도출
④ 반성: 해결한 결과 값이 최소인지 다시 한 번 생각해보고 다른 해결 방법은 없는지 모색. 구슬이 7개일 때는 몇 번을 사용하면 되는지의 문제 확장 가능
▶ 문제해결 과정은 이전의 경험과 지식, 직관력, 태도와 신념, 그 밖의 다양한 능력을 통합·조정하는 것을 포함하는 복합적인 활동이다. 단순히 ‘공식’을 사용해 문제를 해결하는 방법을 피하고, 다양한 문제해결 전략을 고민해야 한다.
같은 수학 개념을 물어보더라도 더 많은 사고와 다양한 수학적 생각을 끌어낼 수 있는 문제를 선택하고, 다양한 방법으로 이를 해결해봐야 한다. 스스로 고민하고 여러 방법으로 푸는 과정에서 실력이 향상된다.
▶ 답안: 윗접시 저울을 사용하는 최소 횟수는 2번이다.
① 윗접시 저울의 양쪽 접시에 구슬을 3개씩 올려놓는다. 그러면 두 접시 중 어느 한쪽으로 기울 것이다. 이때 위쪽으로 올라간 접시에 있는 3개의 구슬 중 하나가 가벼운 구슬이다.
② 위쪽으로 올라간 접시에 있는 3개의 구슬 중 2개를 골라 윗접시 저울의 양쪽 접시에 1개씩 올려놓는다. 그러면 두 구슬의 무게가 같거나 어느 한쪽으로 기울 것이다. 이때 두 구슬의 무게가 같으면 윗접시 저울에 올려놓지 않은 구슬이 가벼운 구슬이고, 한쪽으로 기울면 위쪽으로 올라간 접시에 있는 구슬이 가벼운 구슬이다.
<이미경 와이즈만 영재교육연구소장>
