열 쌍의 부부, 총 20명이 모인 자리에서 부부끼리는 악수를 하지 않았으므로, 집주인의 질문에 답한 19명의 악수 횟수가 모두 달랐다면 그 횟수의 최소값은 0, 최대값은 18이다.
왜냐하면 부부끼리는 악수하지 않으므로 악수를 최대한으로 많이 하는 사람은 18회까지 할 수 있으며, 19명 전체의 답변이 다르므로 0부터 18까지의 모든 정수가 질문에 답한 내용이 된다.
이 중 18회 악수를 한 사람은 그의 처(혹은 남편, 이하 커플이라 칭한다)와 악수하지 않았으므로, 악수를 0회 한 사람은 그 사람의 커플이다.
왜냐하면 나머지 모든 사람들은 이 사람과 한 번씩 악수를 했으므로, 적어도 한 번씩은 악수를 한 것이기 때문이다.
마찬가지 방법으로 악수를 17회 한 사람은 역시 그의 커플과 악수하지 않았으므로, 악수를 0회 한 사람과 자기의 커플을 제외한 모든 사람과 악수하였다.
따라서 1회 악수한 사람은 그의 커플이다. 왜냐하면 나머지 모든 사람들은 이미 적어도 두 번은 악수를 한 것이기 때문이다.
역시 악수를 16회 한 사람은 그의 커플과 악수하지 않았으므로, 자신의 커플, 악수를 0회, 1회 한 2명을 제외한 나머지 모든 사람과 악수했다. 따라서 2회 악수한 사람은 그의 커플이다. 왜냐하면 나머지 모든 사람들은 이미 적어도 세 번은 악수를 한 것이기 때문이다.
모든 커플에 대하여 마찬가지의 방법으로 접근할 수 있으므로, 집주인을 제외한 각 부부의 악수 횟수는 18-0회, 17-1회,…, 11-7회, 10-8회로 짝지을 수 있다. 즉, 각 부부의 악수 횟수의 합은 18로 항상 일정하다.
따라서 집주인의 부인은 9회라고 답을 한 것이고, 집주인도 9회의 악수를 한 것이다.
일반적으로 n쌍의 부부가 문제와 같은 조건에서 악수를 하는 경우에는, 집주인을 제외한 모든 사람이 대답한 악수한 횟수는 0, 1, 2, …, 2n-2이고, 2n-2번이라 대답한 사람의 처(혹은 남편)는 0번이고, 계속해서 같은 방법으로 따져보면 각 부부의 악수 횟수의 합이 2n-2로 일정하므로, 집주인의 처가 악수한 횟수는 2n-2를 반으로 나눈 n-1번임을 알 수 있다.
즉 n쌍의 부부인 경우, 집주인의 부인은 n-1번 악수한다.
*** [문항 2] 예시 답안
1. (그림1)에서 원을 한쪽 방향으로 일정한 비율로 줄이면 타원을 만들 수 있다. 이때, 원의 중심과 타원의 중심은 일치하고, (그림1)에서 타원의 장축과 단축을 알 수 있다.
(그림2)에서 원에 평행한 임의의 두 현 PQ, RS를 긋고, P, Q, R, S에서 장축에 수직으로 그림처럼 선을 긋고 타원과 만나는 점을 P', Q', R', S'라 하자. 그러면, P'Q', R'S'는 평행하다.
또한, 현 PQ와 RS의 중점을 M, N이라 하면, MN은 원의 중심을 지난다. 마찬가지로 M, N에서 축에 수직방향으로 수선을 그어 M', N'를 잡으면 M', N'는 P'Q', R'S'의 중점이 되고, M'N'는 중심을 지난다
그러므로 타원의 평행한 현들의 중점을 연결하면 중심을 지나는 일직선 위에 있게 된다
2. 먼저 기울기가 일정한 현의 중점은 타원의 중심을 지나므로, 평행한 한 쌍의 현을 긋고 각 현의 중점을 연결하면 중심을 지나는 직선을 구할 수 있다. 이들과 평행하지 않은 또 다른 한 쌍의 평행한 현을 긋고 각 현의 중점을 연결하면 중심을 지나는 또 다른 직선을 구할 수 있다.
타원의 중심은 이렇게 구한 두 개의 직선 위에 동시에 존재해야 하므로 두 직선의 교점이 이 타원의 중심이다. 다음으로 타원의 중심을 중심으로 하고 반지름이 타원과 네 개의 교점이 생기도록 원을 그린다. 이때, 네 교점을 이은 직사각형은 단축 장축과 평행하므로 타원의 중심을 지나면서 직사각형의 변과 평행선을 작도하면 단축과 장축을 그릴 수 있다. 끝으로 타원의 초점은 장축 위에 존재하므로 타원의 단축의 한 끝점에 중심을 두고, 장축의 길이의 절반에 해당하는 길이를 반지름으로 하는 원을 작도하였을 때, 이 원이 장축과 만나는 두 교점이 이 타원의 두 초점이 된다.
*** [문항 3] 예시 답안
2008학년도 논술 예시문항의 가장 큰 특징은 통합교과적이라는 것이다. 사진은 입시전문기관이 개최한 입시설명회.
(두 가지 관점에서 답변 작성 가능)
답안 1
<체적의 변화에 따른 표면적 문제의 발생>
주어진 크기와 모양과의 관계를 바탕으로 하여 결론을 미리 얘기하자면 둘 다 과학적으로 생존이 불가능하다는 것이다. 체적의 변화에 따른 표면적 문제의 발생을 얘기해 보겠다. 예를 들어 사슴과 소를 비교해 대략 몸집이 2배 정도 차이 난다고 볼 때 길이가 2배가 되면 체적은 당연히 그의 3제곱배로 늘어난다. 즉 사슴과 소의 크기가 2배 차이라면 체적은 소가 사슴에 비해 8배 더 큰 셈이 되는 것이다. 그리고 무게는 체적에 비례하므로 몸무게도 8배 더 무겁게 되는 것이다. 이 소가 제대로 살아가려면 사슴에 비해 8배 많은 몸무게를 지탱할 만큼 뼈의 골밀도가 더 단단해져야 한다는 결론이 나온다.
그럼 제시된 주제로 돌아가 개미가 코끼리만큼 커졌다고 하자. 개미와 코끼리의 길이는 예로 든 사슴과 소의 차원을 떠나 족히 몇백 배 이상의 차이를 보인다. 그렇다면 몸집의 길이가 길어진 것에 비하여 체적과 무게는 몇백 배의 3제곱배라는 경이로운 숫자가 나오게 된다.
즉 코끼리만 한 개미는 늘어난 체중을 지탱할 수 있는 엄청난 골밀도의 아주 굵은 뼈를 가지고 있어야 생존이 가능하다는 얘기다. 하지만 개미는 엄청난 골밀도는커녕 척추동물과 같은 골격 자체를 가지고 있지 않다. 개미의 외형을 유지해 주는 성분은 키틴질 성분으로 구성된 딱딱한 외골격인 피부조직이 전부이다. 만약 그 키틴질로 된 외골격의 두께가 충분히 두껍고 외골격 성분의 밀도를 엄청나게 높게 만들 수 있다면 모를까, 문제의 제시처럼 내부 밀도가 일정한 상황이라고 한다면 큰 트럭에 자전거 바퀴를 단 것과 같은 결과가 나타날 것이므로 개미는 무게를 이기지 못해 생존이 불가능할 것이다.
답안 2
<크기와 신진대사율과 관계된 부분에서 문제의 발생>
주어진 크기와 모양과의 관계를 바탕으로 해 결론을 미리 얘기하자면 둘 다 과학적으로 생존이 불가능하다는 것이다. 크기와 신진대사율과 관계된 부분에서 문제의 발생을 얘기해 보도록 하겠다.
먼저 개미 같은 작은 곤충이나 쥐 같은 작은 동물들은 큰 동물들에 비해 자주 먹고 예민하며 활동적이다. 그리고 기린.코끼리 같은 크기가 큰 초식동물들은 몸의 두께가 두껍고 비활동적이다. 여기서 체적과 길이의 물리적 공식을 함께 응용해 설명하자면 몸의 길이가 2분의 1이 되면 몸의 체적은 2의 세제곱분의 1로 작아지게 된다. 즉 몸의 길이가 반이 되면 위와 같은 3차원적인 장기들의 크기는 그것의 세제곱분의 1로 작아진다는 의미이다. 즉 섭취할 수 있는 음식의 양이 8분의 1로 줄어드는 셈이 되는 것이다. 표면을 통한 체온 유지 측면에서도 문제가 발생하게 된다. 체온 유지를 위한 열은 피부의 표면을 통해 발산되므로 겉넓이와 관계가 있다.
즉 크기가 두 배로 작아지게 되면 4분의 1만큼 체열을 발산하게 된다는 계산이 나온다. 따라서 체온을 유지하기 위해 열에너지를 발생시키려면 그만큼 끊임없이 먹어야 한다는 결론이 나온다.
그런데 크기가 작아져 위의 크기는 8분의 1로 줄고 피부 표면적 감소로 열에너지 발생은 4배로 많이 해야 하는 기묘한 상황이 유발되므로 몸집의 변화가 몇백 배 이상의 차이가 나는 개미만 한 코끼리가 살아나가려면 참 상상 못할 고생을 해야 할 것이다. 제시된 문제의 신진대사와 정육면체 모양 가상 동물의 현상도 위와 같은 맥락의 현상을 이야기하는 것이다. 그러므로 코끼리만 한 개미, 개미만 한 코끼리는 골밀도의 변화, 체형에 따른 적절한 장기 크기의 변화 등을 줄 수 있는 유전적 기술의 발전이 없는 한, 과학적으로 존재하는 것이 불가능하다고 결론 지을 수 있다.
*** [문항 4] 예시 답안
㈎ 지구 반경이 화성 정도로 작아지면 행성의 표면 중력은 행성의 밀도와 반지름에 비례하므로, 밀도가 일정한 상태에서 거리만 절반 정도로 줄어들었기 때문에 지구의 표면 중력은 현재의 절반 정도가 되어 현재 화성의 중력과 비슷할 것이다.
행성의 복사 평형 온도는 태양으로부터의 거리에만 관계되므로 태양과 지구 사이의 거리에 변화가 없다면 현재 지구의 복사 평형 온도와 같아서 현재의 화성의 온도보다는 높을 것이다. 현재 화성의 대기에는 분자량이 큰 CO2, N2만이 소량 존재하고 물은 과거에는 있었으나 현재는 없는 상태다.
행성의 대기는 중력이 클수록 존재하기 쉽고, 온도가 낮을수록 존재하기 쉬운데, 크기가 화성만 한 지구라면 중력은 화성과 같고, 온도는 화성보다 높은 상태이므로 물은 지구를 탈출하여 외계로 날아갔을 것이고, 대기 중에는 CO2, N2같이 분자량이 큰 대기도 존재하기가 쉽지는 않아 보이며, 최소한 현재 화성의 대기보다는 적은 양일 것이다. 이렇게 대기가 없거나 매우 적은 상태라면, 대기에 의한 효과가 거의 나타나지 않을 것이기 때문에 태양 복사를 받는 부분과 안 받는 부분의 온도차가 매우 크게 나타날 것이다.
그리고 물이 없고 대기 존재가 미미한 상태에서는 풍화와 침식도 거의 일어나지 않으므로 운석 구덩이도 그 형태를 많이 보존하고 있을 것이고, 지표면에는 풍화와 침식에 의해 형성되는 퇴적암이 존재하지 않을 것이고, 화성암이나 변성암만이 보일 것이다. 물이 없고 대기가 없는 상태에서는 지표까지 도달하는 태양의 자외선을 차단하는 물질이 없기 때문에 생물체의 탄생은 불가능하였을 것이다.
질량이 작은 상태에서는 냉각이 빨리 일어나기 때문에 지구의 내부는 모두 고체로 되어 있을 가능성이 크다. 외핵에서 전달되는 상태 변화에 의한 열, 방사성 동위원소의 붕괴열 등이 지금보다 훨씬 적은 양일 것이기 때문에 현재 화성에서 지각 변동이 발생하지 않듯이 현재의 지구처럼 활발한 지각 변동은 발생하지 않을 것이다.
결론적으로 작은 지구는 생명체도 바다도 지각 변동도 발생하지 않는 죽음의 행성이 되어 있을 것으로 보인다.
㈏ 지구가 금성의 위치 정도에 있다고 한다면 지구는 지금보다 상당히 고온의 상태일 것이다. 현재의 금성은 고온이기 때문에 대기 입자의 운동 속도가 빨라 행성을 탈출하려는 힘이 강하기 때문에 분자량이 작은 기체는 외계로 탈출하였고 분자량이 큰 CO2, N2 등만 존재하고 있는 상태다.
마찬가지로 지구가 금성보다 중력이 조금 크다고 하더라도 태양에 가까워져 온도가 높아진다면 현재의 지구보다는 분자량이 큰 대기만이 존재하게 될 것이다. 중요한 대기 성분은 물인데, 물이 존재할 수 있다고 하더라도 현재의 금성의 온도가 물의 끓는 점보다 높듯이 가까워진 지구의 온도는 물의 끓는 점보다 높아진 상태일 것이므로 수증기가 존재하더라도 액체 상태로는 존재하지 않을 것이다.
즉 대기 중에 물이 수증기의 형태로 존재하더라도 액체인 바다는 존재하지 않을 것이다. 현재 금성에 CO2가 매우 많은 것은 액체인 물이 없기 때문에 화산 활동을 통해 금성의 대기로 방출된 CO2가 대기 중에 그대로 보존되어 있어서 그런 것이고, 지구 대기에 CO2의 양이 적은 것은 화산 활동을 통해 대기로 방출되었던 CO2의 대부분이 해수에 녹았고, 해수에 녹으면 이온으로 되면서 Ca2+과 반응하게 되어 CaCO3(석회암)으로 침전되면서 암권에 저장되었기 때문이다.
그런데 지구에 액체인 물이 없다면 이 과정이 일어나지 않기 때문에 대기로 방출된 CO2의 양은 줄어들지 않고 계속 유지되었을 것이다. 그렇다면 지구 대기에 존재해야 할 CO2의 양이 현재의 금성에 있는 CO2의 양보다 적어야 할 아무런 이유가 없는 만큼 금성만큼 상당한 양의 CO2가 대기에 존재하고 있을 것이다. CO2는 가시광선은 잘 통과시키지만 지표에서 방출되는 적외선 복사는 흡수해 지표로 재방출하여 대기와 지표의 온도를 올리는 온실 효과를 일으키기 때문에 지구는 현재의 금성만큼 고온의 상태를 유지할 것이다.
이와 같이 액체인 물이 없고 고온인 지구에서 생명체의 탄생은 불가능했을 것이다.
생명체가 없는 상태에서 산소의 생성은 힘들었을 것이고 오존층도 없는 상태일 것이다. 만의 하나 고온을 견디고 CO2만 있으면 살아갈 수 있는 생물체가 있을 수 있다고 가정하더라도 그 높은 기압을 이겨내기는 더욱 힘들었을 것으로 보인다.
