수학 공부에서도 생존을 위한 도구가 있다. 바로 식·표·그래프다. 익숙한 개념이지만 많은 수험생들이 그 의미와 성격을 제대로 모른다. ‘식이 무엇인가’라는 물음에 ‘식은 세우고, 푸는 것’이라고 답할 수 있다면 식의 의미와 성격을 정확히 아는 것이다. 이렇듯 식의 핵심은 생성과 변형이다. 식의 생성이란 문제에서 주어진 여러 상황을 통해 식을 세우는 과정으로 미지수와 차수를 파악해 방정식·부등식·함수 등을 생성하는 것이다. 식의 생성은 미지수 파악이 선행돼야 하며 어떤 종류의 식을 생성해야 하는 지도 중요하다. 대부분은 방정식을 생성하지만 부등식을 생성하는 경우도 있다.
식의 변형은 만들어진 식을 각종 공식이나 식 사이의 연산을 통해 형태를 바꾸는 작업이다. 공식을 외워도 문제를 잘 풀지 못하는 경우가 이 단계에서 좌절하는 경우다. 식의 변형형태는 다양하다. 첫째, 식이 그 자체로 변형되는 경우, 둘째, 식을 그래프로 변형하는 경우, 셋째, 그래프를 식으로 변형하는 경우 등이다.
식의 여러 형태 중 중요한 것은 ‘함수’인데, 그래프로 그릴 수 있기 때문이다. 출제자는 함수의 그래프를 통해 문제를구성하기 좋아한다. 그래프 해석 과정까지도 요구한다. 그래프 상의 좌표와 기울기 등의 개념을 이해해야 한다. 많은 수험생들이 힘들어 하는 부분도 바로 이 ‘해석’ 과정이다.
그래프 그리기는 함수에 있어 필수다. 함수가 등장하면 그래프를 그려봐야 한다. 가끔 가우스나 가수의 그래프처럼 어려운 그래프가 있는데 평소에 익숙해져야 한다. 시험 때 생각을 떠올려 그린다는 것은 어렵기 때문이다. 식의 생성이나 변형 이후에도 생각해야 하는 것이 그래프 그리기다. 방정식이나 부등식을 식 그자체로 풀 수 있으나, 함수로 바꿔 그래프를 통해 풀면 이해가 쉽고, 빨리 답을 찾을 수 있다. 따라서 식이 등장하면 ‘그래프로 표현 가능한가?’를 생각해야 한다.
표나 수형도를 그리면 복잡한 과정을 단순화해서 풀 수 있는 경우가 있다. 수학Ⅰ에선 ‘수열’에서 표를 그리면 문제가 쉽게 풀리는 경우가 있다. ‘경우의 수’ ‘확률’ ‘통계’ 단원에서도 표와 수형도를 활용하면 풀이가 쉬워질 때가 있다. ‘미분’단원에선 증감표를 그려 함수를 해석하는 것과 마찬가지다.
식을 만들고 변형하거나 그래프를 그리고 해석하는 단계는 문제 분석이 이뤄진 단계다. 조금만 더 진행하면 결론을 찾을 수 있다. 그런데 고난도 문제는 이 단계가 까다롭다. 바로 식의 생성과 변형, 그래프 생성과 해석과정이 제대로 이뤄지지 않으면 문제 풀이가 어렵다.
열심히 해도 성적이 오르기 어려운 이유가 대부분 ‘수학 상·하’ 과정 의 ‘식’과 관련한 개념이 발목을 잡고 있기 때문이다.
● 식과 관련해 기억해야 할 것
1 식을 세울 땐 미지수와 차수에 주목하자.
2 식은 항상 변형 과정을 품고 있다.
3 식은 그래프로 그려지기를 갈망한다.
4 그래프도 가끔 식이 되고 싶어 한다.
5 해석이 없는 그래프는 무용지물이다.
<이광준 이투스교육 수학참고서 『6inch』 대표저자>
