인류 문명을 발달시킨 사람들 중에는 꿈꾸는 듯한 상상력과 창의적인 발상을 바탕으로 궁금한 것들을 끊임없는 열정으로 탐구한 수학자와 과학자가 많다. 그들은 그 당시까지 남들이 전혀 생각하지 않았거나 어렵게만 여겨졌던 주제에 과감하게 도전하여 평생을 바쳐 새로운 가설을 입증한 사람들이다.
그중 한 사람으로 집합론을 창시한 독일의 불운한 천재 수학자 칸토어(Georg Cantor·1845~1918)를 꼽을 수 있다. 그는 집합 사이의 일대일 대응 개념을 확립했고, 무한과 관련된 집합을 정의했으며, 자연수보다 실수가 훨씬 많다는 것을 증명했다. 그는 이 증명에서 유명한 대각선 논법을 사용했는데, 대각선 논법은 그 후 앨런 튜링(Alan Turing)이 고안한 ‘튜링머신(Turing Machine)’에도 적용되어 현대 디지털 컴퓨터 이론의 확립에도 결정적인 기여를 하게 됐다.
대부분의 독자들은 학창 시절에 배웠던 교집합, 합집합, 여집합 등의 연산이 기억 속에 남아있을 것이다. 하지만 이러한 연산은 그 당시에는 더하고, 빼고, 곱하는 연산과는 판이하게 다른 것이어서 학계에서는 주목 받지 못했다. 칸토어는 젊은 시절부터 집합론과 관련된 많은 논문을 썼는데 선배 수학자들은 그의 깜짝 놀랄 만한 발상과 연구 업적에 대해 ‘터무니없는 이론’이라며 번번이 퇴짜를 놓았다. 심지어 그의 스승이던 당대의 저명한 수학자 크로네커(Kronecker)에게도 전혀 인정을 받지 못할 정도였다.
이로 인해 그는 심한 우울증에 시달렸으나 집합론과 관련된 문제 해결을 위해 좌절하지 않고 지속적으로 노력했다. 하지만 점차 심한 신경쇠약에 빠져들어 고통스럽게 지냈으며, 말년에는 가난으로 인해 굶주리기까지 하다가 결국 정신병에 걸린 채 세상을 떠났다.
그가 타계한 지 40년이 흐른 후인 1957년 소련에서는 최초의 인공위성인 스푸트니크(Sputnik) 1호(사진)가 성공적으로 발사됐다. 이는 당시 모든 면에서 소련과 첨예하게 경쟁하고 있던 미국에는 크나큰 충격이었다. 이에 놀란 미국 학계에서는 수학 교과서를 새 교과 과정으로 개편하게 됐는데, 주요 내용 중 하나가 바로 집합을 근거로 하는 수학적인 접근 방법이었다. 그 후 1960년대 중반에 우리나라에도 이 내용이 도입되어 지금은 유치원 과정까지도 집합론에 근거를 둔 수학 교육이 이뤄지고 있다.
풍부한 상상력과 독창적인 생각을 바탕으로 자기가 옳다고 생각한 신념의 관철을 위해 평생에 걸쳐 끊임없이 노력해 일궈낸 칸토어의 위대한 업적은 수학과 그 응용 분야 발전의 영원한 초석이 될 것이다.
[문제 1]에서는 점의 개수가 늘어나는 변화에 유의한다. 3, 6, 10으로 변화하므로 차이가 3, 4, 5 등으로 늘어난다. 따라서 3, 6, 10, 15, 21 등과 같이 변화하게 된다.
[문제 2]에서는 거꾸로 계산하게 되는 셈인데 네모의 값을 알기 위해 등식의 반대로 이항하면 곱하기와 나누기가 반대로 바뀐다는 점에 착안한다.
[문제 3]과 같은 문제는 다소 생소할 것이나 조금도 당황할 필요가 없다. 세로의 가운데 줄을 보면 분＋파＝13이고, 가로 밑줄에서 분＋파 + 분＝18이므로 분홍과 파란의 값을 구할 수 있으므로 물음표의 값을 어렵지 않게 알 수 있다.
