[김대수의 수학 어드벤처] 20세기 전자회로 뿌리는 아리스토텔레스의 논리학

고대로부터 시작된 논리에 관한 탐구는 현재 고등학교 수학 교과서와 대학 과정에서 매우 중요한 역할을 담당하고 있다. 논리는 복합적인 명제들의 진위를 판단하는 엄격한 방법론으로 쓰일 뿐만 아니라 컴퓨터를 위시한 현대 디지털 기술의 바탕이 됐기 때문이다.

논리란 인간이 어떻게 사고하는가를 표현하는 사고의 규칙을 말한다. 인간의 사고가 논리적인지를 판단하는 것은 주어진 문제를 객관적으로 명확하게, 그리고 사고의 법칙을 체계적으로 추구하여 분석하는지의 여부로 결정된다. 즉 논리의 중요한 목적은 어떤 특정한 논리를 통한 입증이 옳은가를 측정하는 데 필요한 법칙을 제공한다는 점이다.

논리에 관한 최초의 연구는 기원전 4세기 그리스의 철학자 아리스토텔레스(Αristoteles)에 의해 시작되었는데, 모든 분야의 지식 연구에 바탕이 되는 연역적 추론을 위한 규칙들로 이루어져 이후 서양 논리학의 주된 흐름으로 자리 잡았다. 아리스토텔레스는 플라톤의 제자로서 소크라테스·플라톤과 함께 고대 그리스의 가장 영향력 있는 학자였으며, 그리스 철학이 현재 서양 철학의 근본을 이루는 데에 크게 이바지하였다. 그는 형이상학·시·논리학·물리학·생물학·동물학·수사학·정치·윤리학 등 다양한 주제로 책을 저술하였다.

17세기에 접어들어 독일의 수학자 라이프니츠(Leibniz)는 연역추론 과정을 명확히 하기 위해 기호의 사용을 고안해 냈으며, 18세기에 철학자 칸트(Kant)는 논리를 ‘사고에 필요한 법칙을 연구하는 과학’으로 정의하였다. 그 후 19세기에 들어와서 현대 기호 논리와 논리 회로 이론의 창시자인 미국의 수학자 불(Boole)과 드 모르간(De Morgan)에 의해 현대적인 논리학이 확립되었다.

지금도 활발하게 진행되고 있는 논리에 대한 연구와 응용은 철학·논리학·컴퓨터공학·전자공학 등 다양한 분야에 응용되고 있는데, 특히 디지털 논리 회로의 설계, 논리 프로그램, 데이터베이스 이론, 인공지능 등에 필요한 이론적 기반을 제공하고 있다.

초기에는 인간 사고의 진위를 복합적으로 판단하는 방법론으로 쓰이던 논리학이 20세기 중반에 들어와서는 논리적 판단과 수학적 계산에 필수적인 논리 회로의 개발로 응용되었다. 진공관을 거쳐 반도체 소자의 개발을 통하여 AND, OR, NOT, NOR 회로(앞의 그림) 등을 기반으로 하는 논리회로가 폭넓게 쓰이고 있다. VLSI를 거쳐 최근에는 ULSI 수준까지 올라가서 1초에 수십 억 번의 논리 연산을 수행할 수 있게 되었다. 수학적 논리와 컴퓨터 회로의 응용을 위한 AND, OR, NOT의 세 가지 주요 논리 회로와 변형 회로를 통하여 이 세상에 존재하는 모든 복합적인 논리를 표현할 수 있으며, 주어진 계산이나 명제들을 초스피드로 구현할 수 있게 되었다니 그 또한 놀랄 일이다.

[문제 1]에서는 가장 왼쪽에 있는 분홍 구슬부터 오른쪽으로 이동시키는 경우에 일어나는 교환 횟수를 생각하면 된다.

[문제 2]에서는 여러 가지 가능성을 가지고 공통된 규칙을 찾아보는데 다소 어렵다. 이 경우 3개 단위의 숫자에서 일정한 규칙을 발견하면 쉽게 풀릴 것이다.

[문제 3]에서는 사용하지 않은 숫자들인 1, 3, 5, 6을 적절히 배치하는데, 삼각형의 오른쪽 아래 자리에 들어갈 수를 먼저 정하면 편리하다.