[김대수의 수학 어드벤처] 나뭇가지·눈송이·해안선 … 수식의 재료는 무궁무진

수학은 과학 발전에 지대한 공헌을 하고 있다. 물리학이나 공학도 입증된 수학식을 바탕으로 이루어진다는 것은 주지의 사실이다. 예를 들어 뉴턴의 만유인력의 법칙도 수학식으로 표현되며, 아인슈타인의 상대성 이론도 마찬가지다.

수학으로 표현되는 자연현상

20세기 중반 이후, 예측에 대한 관심이 커지면서 카오스(Chaos) 현상에 대한 연구가 시작됐다. 카오스 이론은 자연현상을 수학식과 연관 지어 풀어보려는 시도로 1980년대 후반부터 본격적으로 연구됐다. 이 이론을 처음으로 제시한 건 미국의 수학자이자 기상학자인 에드워드 로렌츠(Edward Lorenz) 박사. 그는 1963년 기상 현상을 컴퓨터로 분석하던 중 처음의 조건이 아주 조금만 달라져도 그 결과가 엄청나게 달라지는 ‘나비 효과(Butterfly Effect)’라는 불안정한 현상이 존재한다는 사실을 발견했다. 카오스 개념의 시작이었다.

그림에서 보여지는 녹색 곡선의 연결이 바로 그가 발견한 ‘로렌츠 곡선’이다. 무질서 가운데서 일정한 질서를 가지는 곡선이다. 이 같은 형태의 카오스는 기상학·물리학·수학은 물론 경제학·미술, 심지어 인간 두뇌 연구 등에도 활용되고 있다. 지진 예측, 담배 연기의 위치 추적 등에 쓰이는 것도 카오스 이론이다.

이런 카오스 현상에 대한 연구가 진행되면서 복소수를 바탕으로 간단한 수식으로 신비로운 그림을 그릴 수 있는 프랙털에 대한 탐구가 시작되었다. 프랙털(Fractal)이란 프랑스계 미국인 수학자 브누아 망델브로(Benoit Mandelbrot) 박사가 1975년 처음으로 소개한 것으로 부분과 전체가 똑같은 모양을 가지는 구조를 뜻한다. 단순한 구조가 끊임없이 반복되면서 복잡한 형태를 이루는 것이다. 수학에서는 프랙털의 구조를 a + bi라는 형태의 복소수를 적용해 만들 수 있다. 불규칙해 보이는 자연계의 나뭇가지 모양, 눈송이, 해안선뿐 아니라 자연계의 풍경까지도 수식으로 나타낼 수 있는 것이다.

[문제 1]에서는 두 수 사이의 관계를 찾아낸다. 4와 3이 12가 되고, 12와 6이 72가 되는 것에 착안하면 3과 6의 관계를 추리해 낼 수 있을 것이다.

[문제 2]에서는 적절한 연산 기호를 넣기 위해 다양한 방법으로 접근해 본다. 이런 문제에는 하나의 답만 있는 게 아니다. 답을 찾았더라도 다른 해법을 궁리해 보는 게 중요하다.

[문제 3]에서는 가로나 세로에 있는 수들 간에 규칙을 찾아본다. 같은 칸에 있는 세 수에서 사칙연산을 써본 뒤 다른 경우에서도 공통적으로 적용되는지를 확인해 최종 결론을 내린다.

위의 문제들에서 보는 것처럼 주어진 수들 간의 관계를 살펴보고, 공통된 규칙을 찾아내 합리적인 추론을 이끌어내는 것은 인간 두뇌 활성화에 매우 중요한 역할을 한다.