[김대수의 수학 어드벤처] 피타고라스의 모순 … 무리수의 세계 끝까지 부인

중앙선데이

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우리는 어릴 적부터 개수를 세거나 수를 배울 때 하나, 둘, 셋 또는 1, 2, 3과 같은 자연수를 가장 먼저 접하게 된다. 그 후 뺄셈 과정에서 음의 정수를 접하게 되고 0의 개념도 익히게 된다.

자연수, 0, 음의 정수를 통칭해 정수(整數)라 부르고, 정수에다 정수 아닌 유리수를 포함해 유리수(rational number·有理數)라고 부른다. 사실 유리수란 말은 한자어로 비율이 있는 수, 즉 분수로 나타낼 수 있는 수를 나타낸다.

따라서 0.1234와 같은 유한소수와 0.33333…과 같은 순환소수는 분수 표현이 가능하므로 유리수에 속하게 된다. 즉 유한소수 또는 순환소수로 나타내어지는 것은 유리수이고, 그렇지 않은 것은 무리수다.

다시 말하면 무리수(無理數)는 실수 중에서 유리수가 아닌 수, 즉 두 정수 a, b의 비(比)인 a/b(b≠0)로 나타낼 수 없는 수들이다. 예를 들어 =1.41421356…, π=3.1415926… 등은 순환하지 않는 무한소수이므로 무리수에 속한다.

무리수는 기원전 6세기 그리스 피타고라스의 제자인 히파수스에 의해 발견됐다. 그는 직각삼각형에서 a2+b2=c2인 피타고라스의 정리에 따라 그림과 같이 한 변의 길이가 1인 정사각형의 대각선 길이를 구했더니 =1.414…의 수로서 정수의 비로 나타낼 수 없는 무리수였음을 스승에게 알렸다.

그러나 피타고라스는 “만물의 근원은 수이고 모든 수는 정수나 정수의 비로 표현할 수 있다”는 믿음을 가진 영혼 불멸과 윤회 사상을 신봉하는 피타고라스 학파의 종교적 지도자였다.

그는 무리수가 존재한다는 진리를 발설한 히파수스가 끝까지 주장을 굽히지 않자 학파의 규율을 어겼다는 이유로 그를 배신자로 몰아 바다에 빠뜨려 죽였다.

피타고라스는 말년에 성난 군중들에 의해 살해됐다. 수백 명의 학자를 배출하는 등 막강한 영향력을 발휘하며 교조적 집단을 이뤘던 피타고라스 학파는 기원전 5세기 후반 반대파의 공격으로 학교가 불타면서 해산되고 말았다.

그 후 약 170년쯤 후 그리스의 철학자이자 수학자인 아리스토텔레스(Aristoteles·B.C. 384~322)가 모순증명법을 이용해 가 무리수임을 증명했다. 이를 계기로 무리수의 존재가 정식으로 인정받게 됐으며 유리수와 무리수를 합한 실수(實數)의 세계가 활짝 펼쳐지게 됐다.