[김대수의 수학 어드벤쳐] 오랜 시간에 걸쳐 확립된 무리수와 복소수의 세계

[문제 1] 다음 숫자들을 한번 읽으면서 가장 큰 수와 가장 작은 수를 각각 고르시오.
5, 9, 3, 7, 9, 13, 17, 4, 12, 19, 4

[문제 2] 다음 표에서 같은 조합 내에서는 순서에 관계없이 세 수의 합이 10인 경우를 모두 찾아내시오.

[문제 18] 다음에서 공통된 규칙을 찾아 물음표에 적절한 수를 넣으시오.

우리는 자연수와 0, 그리고 음의 자연수가 모여서 정수가 되고, 정수와 정수가 아닌 유리수가 모여 유리수가 된다는 것을 알고 있다. 또한 유리수와 무리수가 모여 실수를 형성하고, 실수에 허수가 합쳐져 복소수가 되는 복잡한 수 체계를 단계적으로 접해왔다.

그 중 유리수(有理數·rational number)란 비율로 나타낼 수 있는 수, 즉 분수로 나타낼 수 있는 수를 말한다. 그 유리수에다 그리스 시대의 히파수스에 의해 발견되고도 그 존재가 부정된 후 아리스토텔레스에 의해 그 존재가 증명된 무리수에 관한 연구는 오랫동안 암흑시대를 거치게 된다.

그 후 무리수의 개념은 19세기 말 극한과 연속 등 해석학의 여러 개념이 발달하면서 점차 밝혀지게 되는데, 칸토어·데데킨트·바이어슈트라스 등에 의해 그 기초와 특색이 확고하게 되었다.

이러한 무리수는 유리수와 합쳐 실수(實數·Real number)를 형성하게 되며, 실수와 허수(虛數·Imaginary number)를 합해 복소수(複素數·Complex number)[그림]라는 수 체계를 형성하게 되었다.

다음의 x2 + 1 = 0이란 방정식을 풀면 x2 = -1, x = = i 가 되는 허수의 기본값이 나오게 된다. 제곱근 안에 음수 값이 들어있는 이 특이한 허수를 받아 들이는 데는 많은 시간이 필요했다.

이전부터 허수가 존재한다는 사실은 알려져 왔으나 독일의 수학자 오일러가 기하학을 이용하여 비로소 허수 개념의 실마리를 찾아냈다고 한다. 평소 건강이 좋지 않았던 오일러는 침대에서 보내는 시간이 많았는데, 그가 침대에 누워 천장에 가상적인 이미지를 떠올려 허수 개념을 정립한 것이다.

복소수는 실수와 허수를 결합한 수로서, 복잡한 계산을 단순화하는 역할을 함으로써 여러 과학 분야 발전에 중요한 역할을 담당한다. 예를 들어 진동이나 파동을 다루는 데 있어 필수적이며, 물리학·공학에 복소수를 이용함으로써 과학 발전의 응용 스펙트럼을 넓혀 일상생활에서 다양한 혜택을 누릴 수 있게 한다.

오랜 시간에 거쳐 형성되고 확립된 무리수·허수·복소수 개념에 이은 또 다른 수 체계가 언젠가는 또 만들어질 것이다. 또 이를 통한 인류의 과학적 발전은 가속화할 것이다.

[문제 1]에서는 한번 읽으면서 최대값과 최소값을 구하는 문제이다. 집중력을 발휘하면 충분히 가능할 것이다.
[문제 2]에서는 세 수의 합이 10인 경우를 찾아내는데 다양한 조합을 고려한다.
[문제 3]에서는 왼쪽의 두 수를 곱한 값의 1의 자리 수 값을 오른쪽에 적은 규칙임을 착안해내는 것이 관건이다.

정답
1. 19, 3
2. (1, 2, 7), (1, 3, 6), (1, 4, 5), (2, 3, 5)의 4가지 경우
3. 3

김대수 교수 한신대 컴퓨터공학부