[김대수의 수학 어드벤처] 가우스는 어떻게 ‘1+2+ +99+100’을 순식간에 맞혔을까

20세기 들어 전기를 이용한 여러 응용 기술과 최근에 발달한 전자 및 반도체 기술은 인류에 수많은 편리함을 가져다 줬다.

이처럼 눈부신 기술 발전을 가능케 한 원동력은 과학자들이다. 이들의 과학적 지식을 이론적으로 뒷받침한 주체는 수학자들로, 이 중 가장 뛰어난 사람 가운데 한 명이 가우스다.

독일의 창의적 천재 수학자 가우스(Friedrich Gauss, 1777~1855)는 벽돌을 굽는 가난한 집안에서 태어나 19세기의 가장 위대한 수학자가 되었다. 그는 공학과 수학에서 필수적인 선형대수학의 가우스 소거법으로도 유명하다.

그는 천문학·측지학·전기학에서도 두드러진 공헌을 했다. 타원함수를 발견하고 대수학의 기본정리를 증명했으며 복소수 평면을 처음으로 도입하기도 했다. 그는 특히 정수론·초기하급수론·곡면론·복소함수론 및 최소자승법 등의 연구를 통해 19세기 수학에 결정적인 기여를 한 것으로 평가받고 있다.

“수학은 과학의 여왕이고 정수론은 수학의 여왕이다”라는 유명한 말도 그가 한 것이다. 그 때문인지 후세 사람들은 그를 ‘수학의 왕’이라 호칭하기도 했다. 실제로 역사상 3대 수학자로는 가우스, 아르키메데스, 뉴턴이 꼽힌다.

가우스는 숫자에 대한 기억력뿐 아니라 집중력도 매우 뛰어났던 것으로 알려져 있다. 그는 어릴 적부터 창의적이고 독특한 덧셈법으로 선생님을 깜짝 놀라게 했다. 그것이 바로 가우스의 덧셈법이다.

그는 아홉 살 때 초등학교 산수 시간에 1＋2＋3＋…＋99＋100을 계산하라는 문제를 보고, 앞의 숫자와 뒤의 숫자를 더하면 모든 쌍의 합이 101이 나오며, 그 개수는 전체 개수의 절반인 50개가 된다는 점에 착안하였다.

따라서 그는 구하고자 하는 합이 101×50= 5050인 것을 즉석에서 암산으로 계산해냈다. 이와 같은 가우스의 덧셈 방법은 수학 계산에 있어서 대표적인 창의적 방법으로 여겨지고 있다.

[문제 1]에서는 각 변의 합이 12이므로 6을 제외한 나머지 두 수의 합이 6이 되는 조합을 만들어 본다. 이 경우 1, 5와 2, 4를 넣고 바닥 면에서 나머지를 조정하면 된다.

[문제 2]에서는 1부터 10까지의 자연수를 차례로 더해도 된다. 그러나 가우스의 방법대로 계산하면 빠르고 쉬우며 암산도 가능하다.

[문제 3]에서는 가로와 세로의 값들을 면밀히 살펴 일정한 규칙을 찾아내야 한다. 가로 값이나 세로 값을 더하거나 곱해 보기도 하는데, 이 문제의 경우에는 첫째 행과 둘째 행의 값을 더하여 2로 나누면 셋째 행의 값이 나오는 공통점에 착안해야 한다.

수학 문제를 풀기 위해서는 머리를 많이 써야 하므로 많은 사람이 어려움을 느끼게 된다. [문제 3]의 경우 여러 숫자에서 공통점을 찾아내기 힘든 것도 사실이다.

그러나 머리를 많이 쓰면 쓸수록 두뇌 회로가 창의적으로 발달한다는 점에서 남녀노소를 불문하고 충분히 그만한 가치가 있을 것이다.