올해 3·6·9월 학력·모의평가로 본 2012학년도 수능 수리영역 출제 전망

6·9월 모의평가는 수능 출제경향을 엿볼 수 있는 가장 활용도가 높은 기출문제다. 서울 양재고 학생들이 6월 모의평가를 치르고 있다.

6월 모의평가에서 수리(가)형 만점자는 3.34%, 수리(나)형은 3.10%였다. 9월 모의평가에선 각각 1.53%, 1.94%로 줄었다. 9월 모의평가에서 고난도 문제 1~2문항이 추가되면서 난도 조절이 이뤄진 것이다. 그러나 전체 문항 구성은 획기적인 사고의 전환을 요구한다거나 신유형으로 체감난도를 높이기보다는 평이한 출제경향을 유지하면서 고난도 문항 2~3문제를 섞는 식이었다.

종로학원 이정호 수리강사는 “수험생들 사이에서 ‘어떻게 하면 실수를 줄일 수 있을까?’가 최대 화두가 될 정도”라며 “올해 수능도 6, 9월모의평가 출제방향을 유지할 것”이라고 내다봤다. 그는 이어 “문제의 질을 유지하면서도 전체 난도를 예년보다 낮추기 위해선 기출문제와 유사한 문제를 출제할 수 밖에 없다”고 예상했다. 기존 기출문제의 발상을 그대로 이용하면서 소재를 달리 한다거나 EBS 교재의 그림·그래프·식을 그대로 인용해 묻는 내용만 바꾸는 식이다. 비상에듀 전준홍 수리강사는 “기출문제 학습효과가 어느 때보다 높은 해가 될 것”이라며 “대표적인 문제유형을 익히고 마지막까지 출제의 도, 풀이법, 관련 개념 정리에 복습의 초점을 둬야 한다”고 강조했다.
　
상위권은 킬러문제 대비, 중·하위권은 기출문제 반복학습

상위권은 실수 줄이기와 3~4문제의 고난도 킬러문제(최상위권을 가리기 위한 문제) 대비가 관건이다. 6, 9월 모의평가를 분석해보면, 수리(가)형은 다항함수의 그래프와 변곡점, 미분가능성에 관련된 개념(6월 모의평가 21번, 9월 모의평가 21번) 문제가, 수리(나)형은 로그의 성질, 수열의 규칙성 발견 문제(6, 9월 모의평가 30번)가 킬러문제였다. 이투스 정승제 수리강사는 “인문계 학생들은 수열과 확률을, 자연계 학생들은 미·적분과 기하·벡터의 전통적인 고난도 문제들을 철저히 대비하라”고 조언했다.

수Ⅰ의 수열의 규칙성 발견과 상용로그의 지표와 가수, 지수·로그함수의 그래프 개형, 역함수 이론, 등비수열의 극한개념이 대표적인 예다. 수리(가)형에선 삼수선의 정리, 평면과 직선의 각, 벡터의 내적, 도함수의 정의, 3·4차 함수의 그래프 이론, 이계도함수의 기하학적 의미, 합성함수와 두 함수의 곱으로 이뤄진 함수의 연속성, 무한급수와 정적분의 관계가 어려운 개념들이다.

　전 강사도 “수열단원을 철저하게 대비해야 한다”며 “극한과 도형, 실생활 소재까지 다양하게 연결시킬 수 있기 때문에 출제자 입장에서 고난도 문제로 쓸 수 있는 소재가 많다”고 주의를 줬다. 이 강사는 “최근 3개년 동안 수열·확률 문제의 난도가 상승해왔다”며 “변수 n에 대한 식 세우기, 수학적 귀납법을 응용한 빈칸 추론문제, 곱의 법칙을 이용한 확률 문제를 주의 깊게 살펴보라”고 제시했다. 자연계 학생들은 초월함수에 대해서도 철저하게 대비해야 한다. 전통적으로 자연계에선 미·적분 단원이 고난도 문제로 자주 출제됐던 만큼 올해 시험범위로 새로 추가된 초월함수를 소재로 한 미·적분 문제를 예의주시해야 한다. 초월함수에서 점근선의 존재, 직선과의 교점 개수, 변곡점을 지나는 직선과 같은 개념도 고난도 문제에 응용될 수 있다. 초월함수의 그래프 개형을 손수 그려보면서 교점, 직선과의 관계를 파악해야 한다.

　여러 단원의 개념을 복합적으로 응용하는 통합형 문제들도 주의 대상이다. 9월 모의평가 수리(가)형 21번 문제가 대표적이다. 겉으로 보기엔 미분을 이용해 미지수를 구하는 문제지만 실상 합성함수의 미분법과 극값, 나머지 정리까지 고등수학과 미분·함수 단원의 여러 개념이 혼합 응용된 통합형 문제다. 전강사는 “도형+극한, 함수+극한, 미분+적분통합형 문제가 어렵고, 지수·로그함수+수열, 행렬+지수·로그함수 통합형도 주의 깊게 살펴야 한다”고 충고했다. 2011학년도 6월 모의평가 16(함수+극한)·25(지수·로그+수열)번, 2011학년도 9월 모의평가 9번(도형+극한), 2011학년도 수능 가형 17번(미분+적분), 2012 학년도 3월 학력평가 10번(행렬+로그) 문제가 좋은 예다.

● 3개년 모의평가·수능 출제경향 분석

▶ 행렬, 지수·로그, 수열 - 상용로그 지표, 가수 개념 묻는 주관식 오답률 80% 육박

행렬 ㄱ·ㄴ·ㄷ 보기 중 주어진 조건을 충족하는 보기를 고르는 합답형 문제가 어렵다. 2가지 유형에 주의해야 한다. 첫째, 행렬에 관한 식이 주어진 다음 교환법칙이나 역행렬의 존재를 묻는 문제다(2011학년도 9월 모의평가 나형 10번). 둘째, 특정 조건을 만족하는 행렬을 원소로 갖는 집합에 관련된 문제로 집합에 관해 완벽하게 이해해야 한다(2009학년도 수능 나형 10번). 이런 문제는 정확한 개념 이해가 열쇠다. 동일 유형을 모아 반복해 풀어보면 문제의 출제의도를 알 수 있다. 기출문제에서 응용됐던 관련 개념을 모아 정리해 둬야 한다.

지수·로그 상용로그의 지표와 가수 개념을 정확하게 이해해야 한다. 최근 24번 주관식 문항으로 많이 출제됐고, 오답률이 80%에 육박할 정도로 난도가 높았다(2010학년도 6월 모의평가 나형 10번·24번, 2011학년도 6월 모의평가 나형 24번, 2011학년도 수능 나형 24번).

지수·로그 함수 지수·로그 함수의 성질과 그래프의 개형에 대한 학습이 중요하다. 대표적인 문제로는①지수·로그함수의 그래프를 해석해 도형의 길이·넓이를 묻는 문제(2011학년도 9월 모의평가 나형 15번) ②밑이 미지수로 주어진 경우의 그래프에 관한 문제(2009학년도 수능 나형 11번) ③지수·로그 함수에 절대값 기호가 포함된 그래프 문제(2011학년도 수능 나형 16번) ④역함수의 개념을 적용한 문제(2010학년도 6월 모의평가 16번)와 같은 4가지 유형이 있다.

수열 최근 수열 문제의 특징은 ①정수와 관련되며 ②규칙성을 발견해야 하고 ③일반항을 새롭게 정의해야 하는 형태의 문제가 오답률이 높았다는 점이다. 2009학년도 수능 나형 23번, 2010학년도 9월 모의평가 나형 22번, 2011학년도 수능 나형 23번 문항이 대표적이다. Sn과 An의 관계를 묻는 2011학년도 수능 나형 30번 문항과 순수 규칙성 발견 문제 2011학년도 9월 모의평가 나형 25번 문제도 눈여겨봐야 한다.

수열의 극한 무한등비급수와 도형에 관련된 문항이 난도가 높다. 그중에서도 도형의 모양과 개수가 동시에 등비수열로 이뤄진 2010학년도 6월 모의평가 나형12번 문제와 같은 형태로 출제될 가능성이 높다. 2009학년도 수능 나형 14번 문항처럼 원과 접선이 주어진 문제에서는 비례식을 세워 공비를 찾아내는 연습이 필요하다. 최근에는 이보다 한 단계 발전시킨 유형들도 보이는데, 2011학년도 6월 모의평가 나형 10번 문제는 도형의 성질을 이해하고 각 변의 길이가 서로 다른 등비수열로 이뤄진 도형을 해석해야 했다.

<이투스 정승제 강사>

▶ 함수의 극한과 연속, 미분법 - 합성함수의 극한값 구간함수 문제 자주 나와

함수의 극한과 연속 함수의 극한과 연속의 정의는 비교적 간단하다. 극한값의 존재를 밝히기 위해 좌·우 극한값이 같은지, 연속임을 확인하기 위해 극한값과 함수값이 동일한지만 살펴보면 된다. 그런데 함수의 극한과 연속의 정의와 비슷한 개념들이 수열의 극한과 미분에서도 나오기 때문에 학생들이 이를 혼동하는 경우가 종종 있다.

　까다로운 함수의 예로 합성함수·구간함수·삼각함수가 대표적이다. 특히 삼각함수는 익혀야 할 공식의 수와 혼동하기 쉬운 개념이 많아 주의가 필요하다. 합성함수·구간함수는 매해 1~2문제 이상 출제될 정도로 고난도 문제 중 단골메뉴라 할 수 있다. 이와 관련해 최근 출제경향을 살펴보면 합성함수의 극한값, 구간함수의 연속, 구간함수를 합성한 함수의 불연속 점이 자주 다뤄지고 있다. 이 개념들은 상호연결돼 한문제로 통합될 수 있다. 구간함수가 주어졌다는 것은 구간마다 다른 함수가 존재한다는 뜻이다. 따라서 불연속점이 생길 수 있다. 자연스레 연속에 대한 물음이 제기된다. 수학내적 문제해결 문항의 대표적 사례다. 2011학년도 수능 짝수형 8번, 2012학년도 9월 모의평가 11번 문제가 좋은 예다.

　이런 문제는 정의역 범위를 이해하고, 함수식과 그래프를 서로 자유롭게 변환할 줄 아는 능력이 중요하다. 함수에 대한 통합적인 이해가 필요하고 고정된 시각을 벗어나 다양한 풀이를 시도해봐야 한다.

미분법 미분계수의 정의(2012학년도 3월 학력평가26번)와 이 정의를 활용한 문항(2011학년도 수능 29번)들이 매해 출제되고 있다. 미분법을 활용한 도형넓이의 변화율(2012학년도 3월 학력평가 20번), 위치·속도와 관련된 도함수의 활용도 미분에서 물어볼 수 있다. 미분은 이처럼 실생활 예들과 결합이 쉽고, 수학외적 문제해결능력을 물어볼 수 있는 대표적 개념으로 난도가 높다. 미분에 활용되는 다양한 개념들이 서로 어떻게 연관되는지, 통합적인 시각에서 바라보고 다룰 수 있어야 한다. 2011학년도 수능 짝수형 24번 문제가 좋은 예다. 이 문제는 오답률이 97.9%로 고난도 문제였다. 도함수의 개념 중 극대·극소를 활용해야 했고, 미분가능성의 의미와 연속의 개념을 연결시켜 사고할 수 있는 통합적 사고력을 요구했다.

　미분에서 고난도 문제가 출제된다면 위의 문제처럼 여러 개념을 조합하고, 다각도에서 문제를 살펴볼 수 있는 문제해결능력을 요구할 것이다. 그래프에 대한 이해는 필수다.

　인문계 미·적분은 자연계와는 다른 접근이 필요하다. 자연계에서 미·적분은 전통적으로 고난도 문항이 많았던 영역이지만, 인문계는 개정교과서 도입 후 올해가 첫 수능 출제이기 때문에 고난도 문항으로 출제되진 않을 것이다. 쉬운 수능을 강조하는 해인 만큼 출제위원도 이를 고려한 문제구성을 할 것이기 때문이다. 교과서·기본 개념서를 중심으로 단원별 핵심개념을 정리하고 기본·예제 문제로 마무리하면 된다. 단, 인문계 학생들도 다항함수의 미분법을 이해할 때 기계적인 계산에 치우치지 않고 함수와 그래프 사이 관계를 이해하고 손수 손으로 그려보면서 이해해야 한다.

# 함수의 극한과 연속, 미분법 마무리 학습법

①함수와 그래프는 결코 따로 생각할 수 없다. 함수식과 그래프를 함께 분석하며 그 관련성에 주목한다. 설사 문제에 그래프가 주어지지 않았다 하더라도 조건을 활용해 그래프를 그려본다.
②함수의 극한과 연속, 미분법에 등장하는 핵심개념을 정리한 뒤, 이 개념들이 기출문제에서 어떻게 활용됐는지 개념들이 적용되는 관련성에 주목한다. 특히 이 단원의 문제들은 3~4개 이상의 개념이 복합적으로 적용되는 경우가 많다.
③고정된 풀이에 집착하지 말고 다양한 풀이법을 고민해 본다. 기출문제를 분석할 때 유형별로 어떤 풀이가 더 적절한지 고민하며 푼다.
④상위권은 실수 줄이기에 중점을 두고, 고난도 문제에 대비한다. 중·하위권은 무리하게 고난도 문제에 집착하지 말고 기본 개념을 다시 한번 복습하고 대표적인 유형을 반복해 풀어본다.
⑤마무리 학습 핵심은 기출문제다. EBS 연계출제에만 현혹돼 EBS 교재에만 매몰돼선 안된다. EBS 교재를 활용하되 기출문제와 비교·검토하며 어떻게 적용되는지 이해한다.

<비상에듀 전준홍 강사>

▶ 적분·확률통계·기하·벡터 - 회전체 부피 구하고 속도·위치·거리 관계 해법 물어

대표적인 문제유형

·적분

① 적분한 넓이를 다른 도형과 비교(2009학년도 9월 모의평가 11번, 2010학년도 9월 모의평가 29번)
② 적분구간이 변수로 정의된 함수를 미분(2009학년도 수능 29번, 2010학년도 9월 모의평가 21번)
③ 무한급수와 적분의 관계를 정적분의 정의를 이용해 해결(2011학년도 9월 모의평가 11번)
④ 회전체의 부피 구하기(2011학년도 수능 20번)
⑤ 속도?위치?거리의 관계를 적분을 이용해 해결(2011학년도 수능 17번)
⑥ 치환, 부분적분을 이용해 복잡한 정적분을 처리하는 문제(2011학년도 9월 모의평가 28번. 2011학년도 수능 28번)

· 확률·통계

① 이항계수의 복잡한 성질이나 변형, 계수 합의 의미를 배반사건으로 나눠보는 발상을 묻는 문제(2010학년도 6월 모의평가 나형 15번, 2010학년도 수능 나형 12번)
② 확률을 집합의 연산으로 다루는 문제(2010학년도 수능 나형 5번)
③ 경우의 수를 세 확률계산을 하는 문제(2010학년도 9월 모의평가 나형 12번, 2010학년도 수능 나형 29번)
④ 근원사건이 동등하게 발생하지 않는 경우의 확률계산(2010학년도 9월 모의평가 나형 16번)
⑤ 근원사건이 순열조합으로 나타나는 확률계산(2009학년도 수능 나형 16번, 2011학년도 수능 나형 17번)
⑥ 근원사건이 동등하게 발생하는 시행에서 표를 주고 조건부확률을 묻는 문제 (2011학년도 수능 나형 7번)
⑦ 조건부확률의 정의를 이용해 확률 연산으로 조건부확률을 계산(2011학년도 수능 나형 13번)
⑧ 이항분포에서 한번의 시행에서의 확률 계산, 확률변수를 변형, 정규 근사해서 확률을 구하는 문제(2009학년도 수능 나형 30번, 2011학년도 9월 모의평가 나형 13번)
⑨ 연속확률분포에서 확률밀도함수를 이용해 확률평균분산을 구하는 문제(2010학년도 수능 나형 21번)
⑩ 정규분포에서 사건을 확률변수의 범위로 해석(2010학년도 수능 나형 9번)
⑪ 모집단의 분포를 주고 표본평균의 분포를 계산(2009학년도 수능 나형 29번, 2011학년도 9월 모의평가 나형 29번)
⑫ 표본평균의 분포가 정규분포를 따를 때의 확률 계산(2010학년도 9월 나형 27번, 2011학년도 수능 나형 27번)

· 기하·벡터

① 보조선을 그어 공간 문제를 평면 위 문제로 차원을 낮춰 접근하는 문제(2009학년도 9월 모의평가 23번, 2009학년도 수능 25번)
② 정사영을 이용하는 문제-빛의 방향에 수직인 면을 그림자로 해석(2011학년도 수능 11번)
③ 평면을 이동시켜 정사영을 해석(2009학년도 수능 24번)
④ 삼수선의 정리 이용(2010학년도 9월 모의평가 5번, 2010학년도 수능 5번)
⑤ 벡터를 내분벡터로 해석?분해해 재구성, 내적계산을 간단히 하는 문제(2011학년도 9월 모의평가 14번)
⑥ 공간도형을 벡터방정식을 이용해 좌표계에서 도형의 방정식으로 푸는 문제(2010학년도 수능 20번, 2011학년도 수능 21번)
⑦ 정사영과 도형의 방정식 결합문제(20010학년도 수능 25번)
⑧ 벡터를 평행이동시켜 해석하고 내적을 사잇각으로 해석(2011학년도 9월 모의평가 14번)
⑨ 이차곡선의 정의를 이용(2009학년도 9월 모의평가 8번)
⑩ 정사면체의 성질(2009학년도 9월 모의평가 12번)
⑪ 벡터를 좌표로 해석해 성분계산(2009학년도 수능 20번)

# 적분, 확률통계, 기하·벡터 마무리 학습법

올해 수능은 쉬울 것으로 예상되는 만큼 획기적이고 창의성을 요구하는 참신한 문제보다는 기출문제에서 사용됐던 개념적용·응용을 잘 숙지하고 있는지를 점검하는 문제의 출제비중이 높을 것이다. 기출문제에 대한 철저한 분석과 반복훈련이 어느 때보다 효과가 높은 해다.

위에 언급한 여러 유형에 맞춰 기출문제를 분류하고 수 차례 풀어보면 각 유형의 특징과 풀이법을 익힐수 있다. 풀이방향이 눈에 들어온다면 반은 풀린 셈이다. 단, 기계적으로 풀이법을 외우려 해선 안 된다. 각 문제에서 제시된 조건들이 무엇이고, 활용개념은 무엇인지, 꼼꼼하게 확인하고 어떻게 연결되는지를 공부해야 한다. 대체로 잘 정제된 기출문제들의 정석적인 풀이를 따라 익히면 의식하지 않아도 이런 단계를 밟아 훈련할 수 있다. 최종 마무리 복습 단계에선 새로운 문제에 도전하기 보다는 반복해 훈련함으로써 몸으로 익힐 수 있는, 어설프게 알았던 개념을 확실히 다지는 것이 더 효과적이다.

<종로학원 이정호 강사>

<정현진 기자 correctroad@joongang.co.kr 사진="김경록">