[열려라!논술] 수학적 귀납법으로 명제의 참 · 거짓 판명

중앙일보

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고교 자연계열 논술은 대학이 평가하려는 수험생의 수리적·과학적 원리에 대한 이해, 자료 분석 능력 등을 유형별로 세분화해 제시한 지면입니다. 교과서 개념들이 어떻게 응용, 문제화됐는지 보여주며, 교과서로 수능도 함께 공부할 수 있도록 꾸몄습니다. 대입 지도 경험이 풍부한 현직 교사들이 교과서를 보는 새로운 시각을 제시할 것입니다.

<게재순서> 2. 논증력 ① 논리적 추론 ② 통합적 추론 ③ 귀납적 논증 ④ 수리·과학적 개념과 원리의 통합 ⑤구성조직 및 모형화 ⑥근거 설정 및 일반화

<집필> ▶김기권 경희고(지구과학) ▶김은주 덕수고(생물) ▶김흥규 광신고(수학) ▶이동흔 남강고(수학) ▶이효근 보인고(과학) ▶정형식 숭실고(물리) (가나다순)

‘유럽대륙의 월드컵’으로 불리는 ‘유로 2008’이 6월 8일 시작되면서 도박사들은 각자 나름대로의 승률을 내어 놓았다.

지금까지 열린 경기들과 선수들의 경기력을 기준으로 우승 가능성을 예측하는 것이다. 이 같은 귀납적인 예측은 확률이라는 소재를 넘어 다양한 상황에서 수학자나 과학자들에게 수학적인 명제를 관찰하는 중요한 도구로 쓰여 왔다.

아이작 뉴턴은 던져진 돌이 하중에 의한 압력으로 처음 발사된 상태의 직선 경로를 벗어나려 하기 때문에 공기중에서 곡선 경로를 그리게 될 것이고 결국 땅에 떨어질 것이라고 추측했다. 이후 발사 속도를 증가시킬수록 돌은 지구로 떨어지기 전에 더 멀리 앞으로 나아가며 돌은 지구로부터 1km , 10km, 100km, 1000km, 10000km 길이의 호를 그리며 더욱 멀리 날아갈 것이라고 생각했다.

또 발사 속도를 충분히 크게 하면 지구라는 한계를 넘어 우주로 날아가고 타원 궤도를 그리며 지구 위를 돌 것이라는 귀납적인 유추를 했다.

수학에서의 귀납은 순수한 논리에 바탕을 두고 명제를 증명하게 되므로 오류 없이 엄밀한 증명과정을 갖게 된다. 따라서 과학적인 귀납과 차이를 갖게 되는 것이다.

‘수학적 귀납법’은 1838년 드 모르간이 백과사전에 처음 쓴 말로 자연수로 정의된 명제의 증명에 자주 쓰이는데 다음과 같은 특징을 가지고 있다.

“자연수로 정의된 명제 p(n)에 대해

n=1일 때, p(1)이 참이고

n=k일 때, 명제 p(k)가 참이라고 가정할 때,

n=k+1일 때, 명제 p(k+1)이 참임을 보이면명제 p(n)은 모든 자연수에 대해 참임을 확인할 수 있다”는 것으로 그 응용 범위가 넓고 다양한 형태의 명제의 증명에 활용되고 있다.

이제 좀 더 재미있는 상황을 통해 이야기해 보자. 가로와 세로의 길이가 각각 2ⁿ인 정사각형 블록에서 가로와 세로의 길이가 1인 정사각형 블록 한 개를 제거한 도형을 결손 정사각형 블록이라 할 때, 혜람이는 “모든 결손 정사각형블록은 한 변의 길이가 2인 결손 정사각형 블록을 여러 개 붙여서 만들 수 있다”고 주장을 하고 있다면 과연 이 주장은 참이라 할 수 있을까?

이와 같은 상황에서 수학적인 귀납법은 강한 힘을 발휘한다. 즉, 한 변의 길이가 2ⁿ인 정사각형을 Βn이라 할 때, Β₁은 한 변의 길이가 2인 결손정사각형이므로 다음 그림과 같이 당연히 성립한다.

Β₂는 한 변의 길이가 2²인 결손 정사각형 블록으로 왼쪽 그림과 같이 Β₁을 5개 붙여서 완성할 수 있다.

이제 한 변의 길이가 2ⁿ인 결손정사각형 블록 Βn은 여러 개의 Β₁으로 조립할 수 있다고 가정하면 한 변의 길이가 2ⁿ+¹인 결손정사각형 블록 Βn+₁이 여러 개의 Β₁으로 조립할 수 있음을 보이면 혜람이의 말이 참임을 확인할 수 있다. 즉, 다음 그림과 같이 블록 Βn+₁을 사등분하면 블록 Βn이 4개, 블록 Β₁이 1개 있음을 확인할 수 있으므로 모든 Βn은 Β₁으로 조립할 수 있다.