두산동아 ‘완두콩 수학’과 함께하는 재미있는 수학 이야기

‘정다면체’라는 말은 별로 귀에 익숙하지 않지만, 주사위(정육면체), 피라미드(정팔면체의 반) 등은 많이 들어보고, 그 모양도 잘 알고 있을 것입니다. 정다면체 중에서 한면이 정삼각형으로 돼 있는 것은 정사면체, 정팔면체, 정이십면체가 있어요. 한 면이 정사각형으로 돼있는 것은 정육면체가 있지요. 그러면 한 면이 정오각형으로 돼 있는 입체도형도 있을 것이라는 추측을 당연히 했을 텐데, 이상하게도 정오각형으로 돼 있는 정십이면체는 한 면이 정삼각형이거나, 정사각형인 경우에 비해 훨씬 뒤에 발견됐죠.

　정십이면체를 발견하고 100년 뒤에 등장한 수학자이자 철학자인 플라톤은 정다면체의 종류가 5가지밖에 없다는 것을 증명했습니다. 그래서 이 5가지의 정다면체를 ‘플라톤의 입체’라고 부릅니다.

　여기서 ‘5가지밖에 없다’고 하는 것을 어떻게 증명하면 좋을지 생각해봅시다. 혹시 ‘정삼각형을 한 면으로 하는 정이십사면체, 정삼심면체 같은 것이 있는 것은 아닐까? 또는 ‘정육각형을 면으로 하는 입체도형도 만들 수 있지 않을까?’라고 생각할 수도 있습니다. 하지만 한 꼭짓점에 모이는 정다각형의 개수를 빠진 것이 없도록 표를 만들어 정리해보면 정다면체가 5가지밖에 없다는 것을 확실히 알 수 있어요.