[김대수의 수학어드벤처] 선형방정식의 다양한 응용을 가능케 한 행렬과 행렬식

중앙일보

입력

업데이트

[문제 1] 1g, 3g, 7g 세 개의 분동이 각각 1개씩 주어졌을 때 천칭저울과 이 분동을 이용하여 5g의 무게를 잴 수 있는 방법을 나타내시오.

[문제 2] 다음과 같이 큰 삼각형의 꼭지점에서 아래로 선을 3개 그었을 때 만들어질 수 있는 삼각형의 총 개수는?

[문제 3] 다음과 같이 성냥개비로 이루어진 도형에서 4개의 성냥개비를 제거하여 5개의 정사각형을 만드시오.

우리는 학창시절 방정식을 풀었던 경험이 있다. 미지수가 2개인2차 방정식과 미지수가 3개인 3차 방정식이었는데, 풀이에 상당한 시간이 걸렸다. 이러한 방정식이 선형방정식인데 각 식에다 적당한 수를 곱하고, 나누고, 더하고, 빼 미지의 변수를 소거해 나가는 방법으로 풀었다.

선형방정식 풀이는 여러 가지 공학적 문제 해결에 매우 중요하기 때문에 중·고등학교 수학 과정에서 배우고, 경제학도나 공학도는 대학 과정에서도 수강하게 된다.

경제학자 레온티에프(Leontief, 1906~99)는 1949년 42개 미지수의 선형방정식을 마크 II(MARK II) 컴퓨터를 이용하여 56시간만에 풀어, 유명 경제학 모델을 만들기도 하였다.

한편 미지수의 개수가 많아지면 손으로 쉽게 풀 수 없으므로 그런 문제를 체계적으로 해결하기 위해 행렬과 행렬식에 대한 연구가 시작되었다. 행렬(Matrix)은 선형방정식을 [그림]과 같이 간단하게 표현할 수 있으며, 보다 쉽게 연산할 수 있도록 해준다. 또 행렬식은 행렬을 통한 응용에 있어 매우 유용한 도구를 제공해준다.

행렬 개념은 영국 수학자 케일리(A. Cayley, 1812~95)에 의해 처음으로 확립되었고, 행렬식(Determinant)은 가우스(Gauss)와 코시(Cauchy)에 의해 현대적 개념으로 진화했다.

행렬과 행렬식을 통한 선형방정식의 해법은 현재 화학방정식, 교통 흐름 분석, 경제 동향 분석, 건축에서의 균형, 투표 성향 분석, 전기회로, 복잡한 암호의 해독 등에 널리 활용되고 있다. 최근에는 MATLAB이나 Mathematica, Maple 등의 소프트웨어 패키지를 활용하면 순식간에 풀이를 얻을 수 있으므로 활용 분야가 더욱 확대되고 있다.

[문제 1]에서는 1, 3, 7과 5의 조합이 균형을 이루는 방법에 착안하면 된다.
[문제 2]에서는 삼각형이 만들어지는 1, 2, 3, 4개의 크기 별로 셈하면 된다.
[문제 3]에서는 9개의 정사각형을 5개로 줄이는 효과적인 방법을 고안해 본다.

정답
1. 왼쪽(7g 분동＋1g 분동), 오른쪽(물건＋3g 분동)
2. 4 + 3 + 2 + 1 = 10(개)
3.